Тема пропорции. Как считается пропорция. Как посчитать пропорцию

Формула пропорций

Пропо́рция - это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c

Обращение пропорции: если a:b=c:d , то b:a=d:c

Перестановка средних членов: если a:b=c:d , то a:c=b:d

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d , то d:b=c:a

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию: 1 таблетка - 10 кг x таблеток - 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию: 2 статьи - 5 часов x статей - 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

Отношение двух чисел

Определение 1

Отношением двух чисел является их частное.

Пример 1

отношение $18$ к $3$ может быть записано как:

$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.

отношение $5$ к $15$ может быть записано как:

$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.

С помощью отношения двух чисел можно показать:

• во сколько раз одно число превышает другое;
• какую часть представляет одно число от другого.

При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.

Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с...» или предлога «к...».

Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:

Замечание 1

При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.

Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.

Пример 2

Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?

Решение .

Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:

$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.

Ответ : количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.

Пример 3

Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.

Решение .

$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.

Ответ : $9$ раз.

Понятие пропорции

Определение 2

Пропорцией называется равенство двух отношений:

$a\div b=c\div d$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Пример 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.

В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.

Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:

Замечание 2

Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Данное утверждение является основным свойством пропорции .

Справедливо и обратное утверждение:

Замечание 3

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.

Замечание 4

Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.

Пример 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.

С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:

$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.

Пример 6

$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac{48}{16}$;

Пример 7

$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac{168}{24}$;

$3$ садовника – $108$ деревьев;

$x$ садовников – $252$ дерева.

Составим пропорцию:

$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.

Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:

$b=\frac{a \cdot d}{c}$;

$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;

$x=\frac{252}{36}$;

Ответ : для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.

Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.

Воронцова Галина Николаевна

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Старокармыжская средняя общеобразовательная школа»

Конспект урока по математике 6 класс

«Отношения и пропорции»

Цель:

Сформировать понятие пропорции, отношения.

Закрепить новые понятия.

Совершенствовать навык счета.

Развивать чувство гармонии, прекрасного.

Оборудование:

Плакат с опорным конспектом.

Наглядность (рисунки)

Бумага, ножницы, линейка

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока.

1.Изучение нового материала. (можно использовать слайды по определениям и задачам, записи отношений и пропорций)

Примеры на доске: 7:2 1:8

Учитель:Прочесть записи на доске.

Ученики:частное чисел 7 и 2; 1 и 8; четыре седьмых; пять третьих; отношение чисел 4 и 7; отношение чисел 5 и 3

Учитель:вы употребили новое понятие «отношение», некоторым из вас оно может уже знакомо, некоторые его встретили при чтении энциклопедии и других источников по математике. Давайте мы поподробнее ознакомимся с этим понятием.

Определение: Отношением чисел называют частное двух чисел не равных

0, - отношение, а≠0, в≠0,где а и в – члены отношения.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

По словарю Ожегова - Отношение 1. Взаимная связь разных величин, предметов, действий. 2.Частное, получаемое от деления одного числа на другое, а также запись соответствующего действия (запись понятия на отдельном листочке и вывешивается на доске).

Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс и т.д.) Частное двух величин называют отношением величин.
Отношение величин одного наименования есть число. Такие величины называются однородными. Отношение величин разных наименований есть новая величина. Примеры:S /t =v , m /v =ρ .

Учитель: Запишем дату, тему урока «Отношения и пропорции» и определение отношения в тетради.

2.Закрепление понятия «отношение.

1). «Г» (говори правильно) – стр. 121, №706 – отношения читает каждый ученик про себя, затем один вслух.

2).№ 706 (стр. 121), используя слово «отношение» прочитайте записи и назовите члены отношений.

3) творческое задание учащимся: составить всем по одному отношению и назвать их по очереди.

Учитель: Как же обстояло дело с понятием « отношение» раньше?

3. Историческая справка.При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой, вычислять их отношения. Долгое время под числом понималось только натуральное число (собрание единиц), полученное в результате счета. Отношение как результат деления одного числа на другое не считалось числом. Новое определение числа было дано впервые английским ученым Исааком Ньютоном(1643-1727). В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Вот с тех пор и считается что отношение величин одного наименования есть число.

4. Продолжение изучения нового материала.

Учитель:Рассмотрим следующие пары отношений

20:4 и 1/3:1/15 6:3и18:9 1,2:4 и 3:10 (запись на доске)

Что можно сказать про эти отношения? (проблемный вопрос для класса).

Ученики: если найти отношения, то получатся одинаковые ответы в правой и левой частях и можно между ними поставить знак равно.

Учитель: пары отношений равны между собой.

Определение.Равенство двух отношений называется пропорцией.

В буквенном виде пропорция записывается следующим образом

а: в = с: д или
где а, в, с, д - члены пропорции, не равные 0.

а, д – крайние члены; с, д – средние члены.

Правильное чтение пропорций (отношений, записанных выше).

По словарю Ожегова: Пропорция - 1)Равенство двух отношений 2)Определенное соотношение частей между собой, соразмерность(в частях здания).

Для запоминания определения пропорции можно выучить следующее четверостишие:

Кто с задачами постарается

Тот не упустит решений.

А пропорцией называется

Равенство двух отношений.

5.Историческая справка про «пропорции».

В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорийцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. В 7 книге «Начал» Евклида (3 в. до н.э.) изложена теория отношений и пропорций. Современная запись пропорции выглядит так: а: в = с:д или
. В то время Евклид вывел производные пропорции (а≠в, с≠д):

в: а = д: с (а + в) : в = (с + д) :д а: (а – в) = с: (с – д)

а: с = в: д (а – в) : в = (с – д) :д

Известный нам способ записи пропорций появился не сразу. Ещё в 17в. французский ученый Р.Декарт (1596-1650) записывал пропорцию

7: 12 = 84: 144 так /7/12/84/144/

Современная запись пропорции с помощью знаков деления и равенства была введена немецким ученым Г. Лейбницем (1646 – 1716) в 1693г.

Вначале рассматривали только пропорции, составленные из натуральных чисел. В 4 в. до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики с помощью пропорций 1) решали задачи, которые в настоящее время решают с помощью уравнений, 2) выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой. Часть математики, в которой говорится об отношениях и пропорциях греки называли музыкой. Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже «толще» получается звук, который она издает. Они знали, что короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях, о дробях и стало называться музыкой.

Пропорциональность является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. Это мы видим в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

Рисунки о пропорциональности в природе и искусстве, архитектуре. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Творческое задание учащимся.Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10см. Что произойдет с прямоугольником, т.е. с отношением сторон? Затем снова от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6см. Что произойдет в этом случае со сторонами прямоугольника?

Ученики:в первом и во втором случаях остается прямоугольник, одна сторона которого примерно в 1,6 раза больше другого.

Учитель:этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1, обратили внимание очень давно. Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (Приложение 1).

Даже сейчас это одно из самых красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник (Приложение 2), то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали золотым прямоугольником. Говорят, что его стороны образуют золотое сечение.

Понятие «золотого сечения»

Золотое сечение или божественное деление – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Число 1,6 лишь приближенно (с точностью до 0,1) представляет величину золотого сечения.

Пример 1. Если отрезок разделен на две части так, что меньшая имеет длину Х, а большая – длину У, то в случае золотого сечения У: (Х+У)=Х:У.

Пример2. В правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения.

Пример 3. На изображении раковины точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом сечении. АС: СВ = СВ: АВ

Пример 4.Знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского. Если высоту великолепно сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура.

Пример 5.Каждую отдельно взятую часть тела(голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.

Пример 6.Расположение листьев на общем стебле растений. Между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

Вывод:Можно привести множество подобных примеров. Нам кажутся одинаково некрасивыми и квадратная, и слишком удлиненная прямоугольная форма: и та, и другая грубо нарушают пропорцию золотого сечения. То же можно наблюдать и во многих других случаях, когда прямоугольная форма предмета не зависит от практических целей и может свободно подчиняться требованиям вкуса. Прямоугольная форма книг, бумажников, тетрадей, фотографических карточек, рамок для картин – более или менее точно удовлетворяет пропорции золотого деления. Даже столы, шкафы, ящики, окна, двери не составляют исключения: в этом легко убедиться, взяв среднее из многих измерений.

6.Закрепление понятия « пропорция»

Разминка:У меня в руках 3 прямоугольника. Прямоугольники неравные, но один из них имеет размеры 5х8. На какой из них приятно смотреть?(Ответ: Древние греки считали, что прямоугольники у которых стороны относятся как 5х8 (стороны образуют «золотое сечение») имеют наиболее приятную форму.

Снова вспомнить определение пропорции.

Творческая работа для учащихся: 1). Составить всем простые пропорции и озвучить по очереди. 2). № 744по учебнику

3). Решение задач:

А) Клоун составил следующие пропорции:

1)3: 6 = 2: 4

2) 4: 6 = 2: 3 Все ли пропорции составлены правильно? Почему?

3) 3: 6 = 4: 2

4) 6: 2 = 4: 6

5) 6: 2 = 4: 6

6) 6: 4 = 3: 2

7) 6: 3 = 4: 2

8) 8: 4 = 2: 3

Б) Почему равенства 1) 1: 2 = 3: 6 и 1,2: 0,3 = 32: 8 являются пропорциями?

2) 4,2: 2 = 22: 10 не является пропорцией?

7. Домашнее задание:№735, 752 выучить определения, придумать примеры предметов, имеющие форму золотого прямоугольника

8. Решение примеров

№744,745, 752, 760

9.Творческое задание.Золотое сечение встречается и в растительном мире. На каждом столе лежит рисунок стебля растения. Составьте золотую пропорцию, сделайте необходимые измерения и вычислите коэффициент пропорциональности.

10. Итог урока

А). итог по выполненному заданию.

Б).ответы на вопросы.

1. Что такое отношение, пропорция?

2. Как называются числа в отношении, пропорции?

3. Что показывает отношение 2-х чисел?

В) Составить по изученной теме стихотворение, используя метод развития критического мышления - прием Синквейн – «белый стих, стих не в рифму», все что изучили на уроке представить в 6-7 строках (1 строчка- тема, 1 существительное; 2 строчка – определение, 2 прилагательных; 3 строчка – действие, 3 глагола; 4 строчка – ассоциации, 4 существительных; 5 строчка – действие, 3 глагола; 6 строчка – определение, 2 прилагательных; 7 строчка – 1 существительное). У кого что получилось, опрос каждого ученика.

Можно предложить такой вариант:

отношения

равные, однородные

делить, преобразовать, сравнить

равенство, гармония, соразмерность, соотношение

пропорция, члены.

Оценка работы каждого учащегося, отметки за урок.

Вывод по уроку:Знания, полученные на сегодняшнем уроке, помогут решать все типы задач на проценты с помощью пропорции. Позже с помощью пропорции вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

Литература:

Учебник под редакцией Н. Я. Виленкина – математика 6 класс

Учебник под редакцией С. М. Никольского -– математика 6 класс

Большой энциклопедический словарь.

И. Ф. Шарыгин «Наглядная геометрия» 5-6класс, стр.99-101

Приложение 1

Приложение 2

Равенство двух отношений называют пропорцией.

a :b =c :d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Пример пропорции : 1 2 : 3 = 16 : 4 . Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4 . Читают: двенадцать так относится к трем , как шестнадцать относится к четырем . Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 - средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a :b =c :d или a /b =c /d основное свойство записывается так: a·d =b·c .

Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4 =3·16. Получается верное равенство: 48=48.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Примеры.

1) х: 20 = 2: 5 . У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.

Решение.

х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2 ) и результат разделить на известный крайний член (число 5 );

х = 40: 5 — произведение средних членов (40 ) разделим на известный крайний член (5 );

х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.

Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:

Искомый крайний член пропорции (х ) будет равен произведению средних членов (20 и 2 ), деленному на известный крайний член (5 ).

Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 х .

Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.

5) 9: х = 3: 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.

Решение.

х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;

х= 136:3;

х=42.

Решение этого примера можно записать иначе:

Искомый средний член пропорции (х ) будет равен произведению крайних членов (9 и 14 ), деленному на известный средний член (3 ).

Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х .

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: « »

Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> теорема синусов

> отношение элементов в треугольнике

> теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700 – 100%

х – 35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1 – 60

х – 50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1 – 1,6

х – 3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.